2.2: ภาชนะรับความดัน (2023)

  1. ปรับปรุงล่าสุด
  2. บันทึกเป็น PDF
  • รหัสหน้า
    44532
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}}}\) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!- \!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{ span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart }{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\ norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm {span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\ mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{ \ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{ \unicode[.8,0]{x212B}}\)

    การแนะนำ

    กลไกของวัสดุจำนวนมากสามารถนำมาใช้ได้ทั้งหมดภายในขอบเขตขององค์ประกอบโครงสร้างที่เน้นแกนเดียว และนี่คือเป้าหมายของโมดูลก่อนหน้านี้ แต่แน่นอนว่าโลกแห่งความจริงนั้นเป็นสามมิติ และเราจำเป็นต้องขยายแนวคิดเหล่านี้ให้สอดคล้องกัน ตอนนี้เราเข้าสู่ขั้นตอนต่อไป และพิจารณาโครงสร้างเหล่านั้นซึ่งการโหลดยังคงเรียบง่าย แต่ในตอนนี้ ความเค้นและความเครียดต้องการมิติที่สองสำหรับคำอธิบาย ทั้งในแง่ของคุณค่าในการแสดงให้เห็นเอฟเฟกต์สองมิติและสำหรับการใช้งานจริงในการออกแบบเชิงกล เราหันไปใช้ประเภทโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย: ภาชนะรับแรงดันที่มีผนังบาง

    โครงสร้าง เช่น ท่อหรือขวดที่สามารถรับแรงดันภายในได้มีความสำคัญอย่างมากในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี แม้ว่าชาวโรมันโบราณได้พัฒนาวิศวกรรมเทศบาลจนมีลำดับสูงในหลายๆ ด้าน แต่ความต้องการอย่างมากสำหรับระบบส่งน้ำขนาดใหญ่ที่น่าประทับใจสำหรับบรรทุกน้ำก็เนื่องมาจากพวกเขายังไม่มีท่อที่สามารถรักษาแรงดันภายในได้ น้ำสามารถไหลขึ้นเนินได้เมื่อขับเคลื่อนด้วยแรงดันไฮดรอลิกของอ่างเก็บน้ำที่ระดับความสูงที่สูงกว่า แต่ถ้าไม่มีท่อที่มีแรงดัน จะต้องสร้างท่อส่งน้ำเพื่อให้น้ำสามารถไหลลงเขาตลอดทางจากอ่างเก็บน้ำไปยังปลายทาง

    ห้องโดยสารบนเครื่องบินเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่คุ้นเคยของโครงสร้างที่มีแรงดัน สิ่งเหล่านี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความสำคัญของการออกแบบที่เหมาะสม เนื่องจากบรรยากาศในห้องโดยสารมีพลังงานเพียงพอที่เกี่ยวข้องกับแรงดันสัมพัทธ์เมื่อเทียบกับอากาศที่เบาบางภายนอก ซึ่งการขยายตัวของรอยแตกที่รุนแรงนั้นเป็นไปได้จริง โศกนาฏกรรมเชิงพาณิชย์ที่ร้ายแรงหลายอย่างเป็นผลมาจากเหตุการณ์นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งโศกนาฏกรรมที่โด่งดังคือเครื่องบินดาวหางที่พังทลายขณะบินในปี 1950 (1T. Bishop, “Fatigue and the Comet Disasters,” Metal Progress, Vol. 67, pp. 79–85 พฤษภาคม พ.ศ. 2498) และการสูญเสียหลังคาส่วนสูง 5 เมตรในส่วนชั้นหนึ่งของเครื่องบิน Aloha Airlines B737 ในเดือนเมษายน พ.ศ. 2531 (E.E. Murphy, “Aging Aircraft: Too Old to Fly?” IEEE Spectrum, pp. 28–31 มิถุนายน 2532)

    ในส่วนที่จะตามมา เราจะร่างวิธีการพิจารณาความเค้นและการเสียรูปในโครงสร้างเช่นนี้ เนื่องจากเป็นขั้นตอนแรกที่สำคัญในการออกแบบเพื่อป้องกันความล้มเหลว

    ความเครียด

    ในสองมิติ สถานะของความเค้น ณ จุดหนึ่งสามารถแสดงให้เห็นได้โดยสะดวกโดยการวาดเส้นตั้งฉากสี่เส้น ซึ่งเราสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นตัวแทนของระนาบอะตอมที่อยู่ติดกันสี่ระนาบซึ่งนำมาจากตำแหน่งโดยพลการภายในวัสดุ ระนาบบน “รูปสี่เหลี่ยมความเค้น” ที่แสดงในรูปที่ 1 สามารถระบุได้โดยการวางแนวของเส้นปกติ ระนาบแนวนอนด้านบนคือระนาบ \(+y\) เนื่องจากจุดปกติของมันอยู่ในทิศทาง \(+y\) ระนาบแนวตั้งทางด้านขวาคือระนาบ \(+x\) ในทำนองเดียวกัน ระนาบแนวตั้งด้านซ้ายและแนวนอนด้านล่างคือ \(-y\) และ \(-x\) ตามลำดับ

    2.2: ภาชนะรับความดัน (2)

    ข้อตกลงเครื่องหมายที่ใช้กันโดยทั่วไปถือว่าความเค้นดึงเป็นค่าบวกและความเค้นอัดเป็นค่าลบ ความเค้นดึงที่เป็นบวกซึ่งกระทำในทิศทาง \(x\) จะถูกวาดบนใบหน้า \(+x\) โดยลูกศรชี้ไปในทิศทาง \(+x\) แต่เพื่อให้สี่เหลี่ยมความเค้นอยู่ในภาวะสมดุล ลูกศรนี้จะต้องสมดุลโดยอีกอันหนึ่งแสดงที่หน้า \(-x\) และชี้ไปในทิศทาง \(-x\) แน่นอนว่า สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่ความเค้นที่แยกจากกัน 2 แบบ แต่เป็นการบ่งชี้ว่าสถานะความเค้นเป็นหนึ่งในความตึงแนวแกนเดียว ดังนั้น ความเครียดเชิงบวกจะแสดงด้วยลูกศร + บนหน้า + หรือลูกศร - บนหน้า - ความเค้นอัดเป็นแบบย้อนกลับ: a - ลูกศรบนหน้า + หรือลูกศร + บนหน้า - สถานะความเครียดที่มีองค์ประกอบทั้งบวกและลบแสดงในรูปที่ 2

    2.2: ภาชนะรับความดัน (3)

    ตอนนี้ให้พิจารณาภาชนะทรงกลมอย่างง่ายที่มีรัศมี \(r\) และความหนาของผนัง \(b\) เช่น ลูกโป่งทรงกลม ความดันภายใน \(p\) ก่อให้เกิดความเค้นแรงดึงในแนวแกนเท่ากันในผนัง ซึ่งสามารถแสดงได้โดยใช้พิกัด \(r\theta \phi\) ทรงกลมเป็น \(\sigma_{\theta}\) และ \(\sigma_ {\phi}\).

    2.2: ภาชนะรับความดัน (4)

    ขนาดของความเครียดเหล่านี้สามารถกำหนดได้โดยพิจารณาจากแผนภาพร่างกายอิสระของภาชนะรับความดันครึ่งหนึ่ง รวมทั้งของไหลภายในที่มีความดัน (ดูรูปที่ 3) ของเหลวจะถือว่ามีน้ำหนักเล็กน้อย ความดันภายในสร้างแรง \(pA = p(\pi r^2)\) ที่กระทำต่อของไหล ซึ่งสมดุลด้วยแรงที่ได้จากการคูณความเค้นที่ผนังคูณพื้นที่ \(\sigma_{\phi} (2\pi rb)\). เทียบเท่าเหล่านี้:

    \[p(\pi r^2) = \sigma_{\phi} (2\pi rb)\number\]

    \[\sigma_{\phi} = \dfrac{pr}{2b}\]

    โปรดทราบว่านี่คือผลลัพธ์ที่กำหนดแบบคงที่ โดยไม่ขึ้นกับคุณสมบัติของวัสดุ นอกจากนี้ โปรดทราบว่าความเค้นในทิศทางเส้นรอบวงมุมฉากสองทิศทางจะเหมือนกัน เช่น \(\sigma_{\phi} = \sigma_{\theta}\)

    ความแม่นยำของผลลัพธ์นี้ขึ้นอยู่กับภาชนะที่มี "ผนังบาง" เช่น \(r \gg b\) ที่พื้นผิวของผนังหลอดเลือด ต้องมีความเค้นในแนวรัศมี \(\sigma_r\) เพื่อให้ความดันสมดุล แต่ความเค้นในแนวรัศมีของพื้นผิวด้านในมีค่าเท่ากับ \(p\) ในขณะที่ความเค้นเส้นรอบวงเท่ากับ \(p\) คูณอัตราส่วน (\(r/2b\)) เมื่ออัตราส่วนนี้มีค่ามาก ความเค้นในแนวรัศมีอาจถูกละเลยเมื่อเปรียบเทียบกับความเค้นเส้นรอบวง

    2.2: ภาชนะรับความดัน (5)

    ความเค้น \(\sigma_z\) ในทิศทางตามแนวแกนของภาชนะรับความดันทรงกระบอกที่มีปลายปิดจะพบได้โดยใช้วิธีเดียวกันนี้ดังแสดงในรูปที่ 4 และให้คำตอบเดียวกัน:

    \[p(\pi r^2) =\sigma_z (2\pi r) b\จำนวน\]

    \[\sigma_z = \dfrac{pr}{2b}\]

    2.2: ภาชนะรับความดัน (6)

    อย่างไรก็ตาม จำเป็นต้องมีมุมมองที่แตกต่างกันเพื่อให้ได้ความเค้นเส้นรอบวงหรือ "ห่วง" σθ เมื่อพิจารณาถึงส่วนตามแนวแกนของความยาวหน่วย ความสมดุลของแรงสำหรับรูปที่ 5 จะให้

    \[2 \sigma_{\theta} (b \cdot 1) = p(2r \cdot 1)\number\]

    \[\sigma_{\theta} =\dfrac{pr}{b}\]

    โปรดทราบว่าความเค้นของห่วงเป็นสองเท่าของความเค้นตามแนวแกน ผลลัพธ์นี้ — ความเค้นที่แตกต่างกันในทิศทางต่าง ๆ — เกิดขึ้นบ่อยกว่าที่ไม่ได้เกิดขึ้นในโครงสร้างทางวิศวกรรม และแสดงให้เห็นข้อดีที่น่าสนใจประการหนึ่งสำหรับวัสดุเชิงวิศวกรรมที่สามารถทำให้แข็งแกร่งขึ้นในทิศทางหนึ่งมากกว่าอีกทิศทางหนึ่ง (คุณสมบัติของแอนไอโซโทรปี) หากภาชนะรับความดันที่สร้างจากวัสดุไอโซทรอปิกทั่วไปมีความหนาเพียงพอที่จะรักษาความเค้นของห่วงให้ต่ำกว่าคราก ภาชนะรับความดันนี้จะแข็งแรงเป็นสองเท่าเมื่อต้องอยู่ในแนวแกน ในแอปพลิเคชันที่วางเบี้ยประกันภัยตามน้ำหนัก นี่อาจเป็นสิ่งที่ควรหลีกเลี่ยง

    ตัวอย่าง \(\PageIndex{1}\)

    2.2: ภาชนะรับความดัน (7)

    พิจารณาภาชนะรับความดันทรงกระบอกที่จะสร้างโดยการพันเส้นใย ซึ่งเส้นใยถูกวางลงในมุมเกลียวที่กำหนด \(\alpha\) (ดูรูปที่ 6) เมื่อพิจารณาถึงขนาดอิสระของหน่วยตามแนวแกนซึ่งมี \(n\) เส้นใยที่ส่งแรงดึง \(T\) อยู่ ระยะทางเส้นรอบวงที่ตัดโดยเส้นใย \(n\) เดียวกันนี้จะเป็น \(\tan \alpha\) เพื่อความสมดุลของห่วงและความเค้นตามแนวแกน แรงดึงของเส้นใยต้องเป็นไปตามความสัมพันธ์

    ห่วง: \(nT \sin \alpha = \dfrac{pr}{b} (1) (b)\)

    แกน: \(nT \cos \alpha = \dfrac{pr}{2b} (\tan \alpha) (b)\)

    เรามีนิพจน์แรกหารด้วยนิพจน์ที่สองและจัดเรียงใหม่

    \[\tan^2 \alpha = 2, \alpha = 54.7^{\circ}\number\]

    นี่คือ "มุมมหัศจรรย์" สำหรับไส้หลอดที่พันแผล ซึ่งเส้นใยจะเอียงไปทางเส้นรอบวงมากพอที่จะทำให้เส้นรอบวงแข็งแรงเป็นสองเท่าเมื่ออยู่ในแนวแกน ท่อดับเพลิงยังถูกถักในมุมเดียวกัน เนื่องจากไม่เช่นนั้นหัวฉีดจะพุ่งไปข้างหน้าหรือข้างหลังเมื่อเปิดวาล์ว และเส้นใยจะพยายามจัดเรียงตัวเองตามทิศทางที่ถูกต้อง

    การเปลี่ยนรูป: ผลปัวซอง

    เมื่อภาชนะรับความดันมีปลายเปิด เช่น ท่อที่เชื่อมต่อห้องหนึ่งกับอีกห้องหนึ่ง จะไม่มีความเค้นตามแนวแกนเนื่องจากไม่มีฝาปิดสำหรับของไหลที่จะดัน จากนั้นจะมีเฉพาะความเครียดของห่วง \(\sigma_{\theta} = pr/b\) เท่านั้น และกฎของฮุคกำหนดความเครียดของห่วงที่เกี่ยวข้องดังนี้:

    \[\epsilon_{\theta} = \dfrac{\sigma_{\theta}}{E} = \dfrac{pr}{bE}\nonumber\]

    เนื่องจากความเครียดนี้คือการเปลี่ยนแปลงของเส้นรอบวง \(\delta C\) หารด้วยเส้นรอบวงเดิม \(C = 2\pi r\) เราสามารถเขียน:

    \[\delta_C = C_{\epsilon_{\theta}} = 2\pi r \dfrac{pr}{bE}\nonumber\]

    การเปลี่ยนแปลงของเส้นรอบวงและการเปลี่ยนแปลงของรัศมี \(\delta_r\) สัมพันธ์กันโดย \(delta_r = \delta_C /2\pi ดังนั้นการขยายตัวในแนวรัศมีคือ:

    \[\delta_r = \dfrac{pr^2}{bE}\]

    สิ่งนี้คล้ายกับการแสดงออก \(\delta = PL/AE\) สำหรับการยืดตัวของชิ้นงานทดสอบแรงดึงแกนเดียว

    ตัวอย่าง \(\PageIndex{2}\)

    พิจารณากระบอกผสม โดยกระบอกหนึ่งมีกระบอกทองเหลืองติดตั้งอยู่ภายในเหล็กอีกกระบอกอย่างแน่นหนาดังแสดงในรูปที่ 7 และอยู่ภายใต้แรงดันภายใน \(p = 2\) Mpa

    2.2: ภาชนะรับความดัน (8)

    เมื่อแรงดันถูกใส่เข้าไปในกระบอกสูบด้านใน มันก็จะพยายามที่จะขยายตัวโดยธรรมชาติ แต่กระบอกสูบด้านนอกดันกลับเพื่อจำกัดการขยายตัวนี้ และ "แรงกดสัมผัส" \(p_c\) พัฒนาขึ้นที่ส่วนต่อประสานระหว่างกระบอกสูบทั้งสอง ตอนนี้กระบอกสูบด้านในจะขยายตามความแตกต่าง \(p - p_c\) ในขณะที่กระบอกสูบด้านนอกจะขยายตามความต้องการของ \(p_c\) เพียงอย่างเดียว แต่เนื่องจากทรงกระบอกทั้งสองยังคงสัมผัสกัน จึงควรชัดเจนว่าการขยายตัวในแนวรัศมีของทรงกระบอกด้านในและด้านนอกจะต้องเท่ากัน และเราสามารถเขียน

    \[\delta_b = \delta_s \to \dfrac{(p - p_c) r_b^2}{E_b b_b} = \dfrac{p_c r_s^2}{E_s b_s}\nonumber\]

    โดยที่ตัวห้อย \(a\) และ \(s\) หมายถึงถังทองเหลืองและเหล็กตามลำดับ

    การแทนค่าตัวเลขและการแก้ค่าแรงดันสัมผัสที่ไม่รู้จัก \(p_c\):

    \[p_c = 976 \text{ KPa}\number\]

    เมื่อทราบ \(p_c\) แล้ว เราสามารถคำนวณการขยายตัวในแนวรัศมีและความเค้นได้หากต้องการ ตัวอย่างเช่น ความเค้นห่วงในกระบอกทองเหลืองด้านในคือ

    \[\sigma_{\theta, b} = \dfrac{(p - p_c) r_b}{b_b} = 62.5 \text{MPa} (= 906 \text{psi})\nonumber\]

    โปรดทราบว่าความเค้นไม่ขึ้นกับคุณสมบัติของวัสดุ (\(E_b\) และ \(E_s\)) อีกต่อไป ขึ้นอยู่กับแรงกดสัมผัสพีซี ซึ่งจะขึ้นอยู่กับความแข็งของวัสดุ การสูญเสียการหาค่าคงที่นี้เกิดขึ้นที่นี่เนื่องจากปัญหามีส่วนผสมของค่าขอบเขตโหลด (ความดันภายใน) และค่าขอบเขตการกระจัด (ข้อจำกัดที่ทรงกระบอกทั้งสองมีการกระจัดในแนวรัศมีเท่ากัน)

    ถ้าภาชนะทรงกระบอกมีปลายปิด ทั้งความเค้นในแนวแกนและห่วงจะปรากฏขึ้นพร้อมกัน ดังที่กำหนดโดยสมการ 2.2.2 และ 2.2.3 ตอนนี้ การเสียรูปค่อนข้างบอบบาง เนื่องจากแรงดึงที่เป็นบวก (แรงดึง) ในทิศทางหนึ่งจะส่งผลให้เกิดความเครียดในเชิงลบ (แรงอัด) ในอีกทิศทางหนึ่ง เช่นเดียวกับการยืดแถบยางให้ยาวขึ้นในทิศทางหนึ่งทำให้บางลงในอีกทิศทางหนึ่ง ทิศทาง (ดูรูปที่ 8) การหดตัวด้านข้างที่มาพร้อมกับการยืดออกตามยาวนี้เรียกว่าผลปัวซอง (หลังจากนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Simeon Denis Poisson, (1781–1840)) และอัตราส่วนของปัวซองเป็นสมบัติทางวัตถุที่กำหนดเป็น

    \[\nu = \dfrac{-\epsilon_{\text{lateral}}}{\epsilon_{\text{longitudinal}}}\]

    โดยที่เครื่องหมายลบแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายระหว่างความเครียดด้านข้างและตามยาว ต้องขยายความเค้น-ความเค้น หรือกฎ "โครงสร้าง" ของวัสดุเพื่อรวมผลกระทบเหล่านี้ เนื่องจากความเค้นในทิศทางใดก็ตามที่ได้รับอิทธิพลจากไม่เพียงแต่ความเค้นในทิศทางนั้นเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเครียดปัวซองที่เกิดจากความเค้นด้วย ในอีกสองทิศทาง

    2.2: ภาชนะรับความดัน (9)

    วัสดุที่ได้รับแรงเค้น \(\sigma_x\) ในทิศทาง \(x\) เท่านั้น จะเกิดความเครียดในทิศทางที่กำหนดโดย \(\epsilon_x = \sigma_x/E\) ความเค้น \(\sigma_y\) ที่กระทำโดยลำพังในทิศทาง \(y\) จะเหนี่ยวนำให้เกิดความเครียดในทิศทาง \(x\) ที่กำหนดจากนิยามของอัตราส่วนปัวซองของ \(\epsilon_x = −\nu \epsilon_y = -\ นู (\sigma_y/E)\). หากวัสดุอยู่ภายใต้ความเค้นทั้ง \(\sigma_x\) และ \(\sigma_y\) พร้อมกัน เอฟเฟกต์สามารถซ้อนทับได้ (เนื่องจากสมการที่ใช้บังคับเป็นเส้นตรง) เพื่อให้:

    \[\epsilon_x = \dfrac{\sigma_x}{E} - \dfrac{\nu \sigma_y}{E} = \dfrac{1}{E} (\sigma_x - \nu \sigma_y)\]

    ในทำนองเดียวกันสำหรับความเครียดในทิศทาง \(y\) :

    \[\epsilon_y = \dfrac{\sigma_y}{E} - \dfrac{\nu \sigma_x}{E} = \dfrac{1}{E} (\sigma_y - \nu \sigma_x)\]

    วัสดุจะอยู่ในสถานะของความเค้นระนาบหากไม่มีส่วนประกอบของความเค้นทำหน้าที่ในมิติที่สาม (ทิศทาง \(z\) ที่นี่) สิ่งนี้เกิดขึ้นโดยทั่วไปในแผ่นบาง ๆ ที่โหลดในระนาบ ส่วนประกอบ \(z\) ของความเค้นจะหายไปที่พื้นผิวเนื่องจากไม่มีแรงกระทำจากภายนอกในทิศทางนั้นเพื่อสร้างความสมดุล และส่วนประกอบเหล่านี้ไม่มีระยะห่างของชิ้นงานทดสอบเพียงพอในมิติความหนาบางถึงบางถึงระดับที่ประเมินได้ อย่างไรก็ตาม สถานะของความเครียดในระนาบไม่ใช่สถานะของความเครียดในระนาบ แผ่นงานจะพบกับความเครียดในทิศทาง \(z\) เท่ากับความเครียดปัวซองที่เกิดจากความเครียด \(x\) และ \(y\):

    \[\epsilon_z = -\dfrac{\nu}{E}(\sigma_x +\sigma_y)\]

    ในกรณีของภาชนะรับความดันทรงกระบอกปลายปิด สามารถใช้สมการ 2.2.6 หรือ 2.2.7 โดยตรงเพื่อให้ความเครียดของห่วงเป็น

    \[\epsilon_{\theta} = \dfrac{1}{E} (\sigma_{\theta} - \nu \sigma_{z}) = \dfrac{1}{E} (\dfrac{pr}{b } - \nu \dfrac{pr}{2b}) = \dfrac{pr}{bE} (1 - \dfrac{\nu}{2}) \nonumber\]

    การขยายตัวในแนวรัศมีนั้น

    \[\delta_r = r\epsilon_{\theta} = \dfrac{pr^2}{bE}(1 - \dfrac{\nu}{2})\]

    โปรดทราบว่าการขยายตัวในแนวรัศมีจะลดลงตามระยะปัวซอง การเสียรูปตามแนวแกนทำให้แนวรัศมีสั้นลง

    ตัวอย่าง \(\PageIndex{3}\)

    เป็นเรื่องปกติที่จะสร้างภาชนะรับความดันโดยใช้สลักเกลียวเพื่อยึดเพลทปลายบนกระบอกสูบปลายเปิด ดังแสดงในรูปที่ 9 ตัวอย่างเช่น กระบอกสูบทำจากโลหะผสมทองแดง มีรัศมี \(R = 5''\ ), ความยาว \(L = 10''\) และความหนาของผนัง \(b_c = 0.1''\) แผ่นแข็งถูกยึดเข้ากับปลายด้วยน็อตเกลียวบนสลักเกลียวเหล็กขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง \(3/8''\) สี่ตัว แต่ละอันมีเกลียว 15 เกลียวต่อนิ้ว ถั่วแต่ละตัวจะได้รับการหมุนเพิ่มอีก 1/2 รอบจากจุดพอดี และเราต้องการประมาณความดันภายในที่จะทำให้เกิดการรั่วไหลจากถัง

    2.2: ภาชนะรับความดัน (10)

    เมื่อความดัน \(p\) ภายในกระบอกสูบเพิ่มขึ้น แรง \(F = p(\pi R^2)\) จะกระทำต่อแผ่นปิดท้าย และสิ่งนี้จะตอบสนองเท่าๆ กันโดยสลักเกลียวยึดสี่ตัว แต่ละคนจึงรู้สึกถึงแรง \(F_b\) ที่มอบให้

    \[F_b = \dfrac{p(\pi R^2)}{4}\number\]

    จากนั้นสลักเกลียวจะยืดออกตามจำนวน \(\delta_b\) ที่กำหนดโดย:

    \[\delta_b = \dfrac{F_b L}{A_b E_b}\จำนวน\]

    เป็นเรื่องน่าดึงดูดใจที่จะพูดว่าเรือจะเริ่มรั่วเมื่อสลักเกลียวยืดออกไปเท่ากับจำนวนที่ขันแน่นเดิม เช่น 1/2 รอบ/15 รอบต่อนิ้ว แต่เมื่อ \(p\) เพิ่มขึ้น กระบอกสูบเองก็เปลี่ยนรูปเช่นกัน มีการขยายตัวในแนวรัศมีตามสมการ 2.2.4 การขยายตัวในแนวรัศมีโดยตัวมันเองจะไม่ทำให้เกิดการรั่วไหล แต่จะเกิดการหดตัวของปัวซอง \(\delta_c\) ในแนวแกนตามมา ซึ่งหมายความว่าสลักเกลียวไม่ต้องยืดออกมากก่อนที่จะยกแผ่นยึดออก (เมื่อการรั่วไหลเริ่มขึ้น เพลตจะไม่ดันกระบอกสูบอีกต่อไป ดังนั้นการโหลดตามแนวแกนของเพลตบนกระบอกสูบจะกลายเป็นศูนย์และไม่จำเป็นในการวิเคราะห์)

    ความสัมพันธ์ที่ควบคุมการรั่วไหล นอกเหนือจากนิพจน์ข้างต้นสำหรับ \(\delta_b\) และ \(F_b\) จึงเป็น:

    \[\delta_b + \delta_c = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{15}\nonumber\]

    โดยที่ตัวห้อย \(b\) และ \(c\) หมายถึงสลักเกลียวและกระบอกสูบตามลำดับ การเสียรูปตามแนวแกน \(\delta_c\) ของทรงกระบอกเป็นเพียง \(L\) คูณความเค้นตามแนวแกน \(\epsilon_z\) ซึ่งจะถูกกำหนดโดยนิพจน์ที่คล้ายคลึงกับสมการ 2.2.7:

    \[\delta_c = \epsilon_z L = \dfrac{L}{E_c} [\sigma_z - \nu \sigma_{\theta}]\nonumber\]

    เนื่องจาก \(\sigma_z\) กลายเป็นศูนย์เช่นเดียวกับที่จานยกออก และ \(\sigma_{\theta} = pR/b_c\) นี่จึงกลายเป็น

    \[\delta_c = \dfrac{L}{E_c} \dfrac{\nu p R}{b_c}\nonumber\]

    เมื่อรวมความสัมพันธ์ข้างต้นและการแก้ปัญหาสำหรับ \(p\) เราก็จะได้

    \[p = \dfrac{2A_b E_b E_c b_c}{15RL (\pi R E_c b_c + 4 \nu A_b E_b)}\จำนวน\]

    ในการแทนค่าตัวเลขทางเรขาคณิตและวัสดุ สิ่งนี้จะให้

    \[p = 496 \text{ psi}\จำนวน\]

    อัตราส่วนปัวซองเป็นพารามิเตอร์ไร้มิติที่ให้ข้อมูลเชิงลึกมากมายเกี่ยวกับธรรมชาติของวัสดุ วัสดุโครงสร้างเชิงวิศวกรรมประเภทหลักๆ นั้นจัดอยู่ในลำดับที่เหมาะสมเมื่อจัดอันดับตามอัตราส่วนของปัวซอง:

    ชั้นวัสดุ อัตราส่วนปัวซอง \(\nu\)
    เซรามิกส์ 0.2
    โลหะ 0.3
    พลาสติก 0.4
    ยาง 0.5

    (ค่าในที่นี้เป็นค่าโดยประมาณ) โปรดทราบว่าวัสดุที่เปราะบางที่สุดจะมีอัตราส่วนของปัวซองต่ำที่สุด และโดยทั่วไปแล้ววัสดุจะมีความยืดหยุ่นมากขึ้นเมื่ออัตราส่วนของปัวซองเพิ่มขึ้น ความสามารถของวัสดุในการหดตัวด้านข้างเมื่อยืดออกตามยาวนั้นสัมพันธ์โดยตรงกับการเคลื่อนที่ของโมเลกุล โดยยางจะมีลักษณะเหมือนของเหลวและเซรามิกจะถูกยึดเหนี่ยวอย่างแน่นหนามาก

    อัตราส่วนของปัวซองยังสัมพันธ์กับความสามารถในการบีบอัดของวัสดุด้วย โมดูลัสจำนวนมาก \(K\) หรือที่เรียกว่าโมดูลัสของการอัดตัว คืออัตราส่วนของความดันอุทกสถิต \(p\) ที่จำเป็นสำหรับการลดลงของหน่วยสัมพัทธ์ในปริมาตร \(\Delta V/V\):

    \[K = \dfrac{-p}{\เดลต้า V/V}\]

    โดยที่เครื่องหมายลบบ่งชี้ว่าแรงดันอัด (ตามธรรมเนียมแล้วถือว่าเป็นค่าบวก) ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงปริมาตรเป็นลบ สามารถแสดงได้ว่าสำหรับวัสดุไอโซโทรปิก โมดูลัสจำนวนมากมีความสัมพันธ์กับโมดูลัสยืดหยุ่นและอัตราส่วนของปัวซองเป็น

    \[K = \dfrac{E}{3(1 - 2\nu)}\]

    นิพจน์นี้ไม่มีขอบเขตเมื่อ ν เข้าใกล้ 0.5 ดังนั้นยางจึงไม่สามารถบีบอัดได้ นอกจากนี้ \(\nu\) ต้องไม่ใหญ่กว่า 0.5 เนื่องจากนั่นหมายความว่าปริมาตรจะเพิ่มขึ้นเมื่อใช้แรงดันบวก ในทางกลับกัน เซรามิกที่ปลายด้านล่างของอัตราส่วนของปัวซองนั้นถูกยึดติดแน่นมากจนไม่สามารถจัดเรียงตัวเองใหม่เพื่อ "อุดรู" ที่เกิดขึ้นเมื่อชิ้นงานถูกดึงด้วยแรงดึง มันไม่มีทางเลือกอื่นนอกจากต้องรับปริมาณที่เพิ่มขึ้น เซรามิกที่มีพันธะแน่นจะมีโมดูลัสมวลรวมต่ำกว่าอีลาสโตเมอร์ที่เคลื่อนที่ได้

    แบบฝึกหัด \(\PageIndex{1}\)

    ภาชนะรับความดันทรงกระบอกปลายปิดที่สร้างจากเหล็กกล้าคาร์บอนมีความหนาของผนัง \(0.075''\) เส้นผ่านศูนย์กลาง \(6''\) และความยาว \(30''\) อะไรคือความเค้นและความเค้นตามแนวแกน \(\sigma_{\theta}, \sigma_z\) เมื่อกระบอกสูบมีแรงดันภายใน 1500 psi การกระจัดในแนวรัศมี \(\delta_r\) คืออะไร?

    แบบฝึกหัด \(\PageIndex{2}\)

    ความดันที่ปลอดภัยของกระบอกสูบในปัญหาก่อนหน้านี้จะเป็นเท่าใด โดยใช้ค่าความปลอดภัยเท่ากับ 2

    แบบฝึกหัด \(\PageIndex{3}\)

    ภาชนะรับความดันผสมที่มีขนาดตามที่แสดงถูกสร้างขึ้นจากชั้นในอะลูมิเนียมและชั้นนอกที่หุ้มด้วยคาร์บอน กำหนดความเค้นเส้นรอบวง (\(\sigma_{\theta}\)) ในสองชั้นเมื่อความดันภายในเท่ากับ 15 MPa โมดูลัสของชั้นกราไฟต์ในทิศทางเส้นรอบวงคือ 15.5 GPa

    2.2: ภาชนะรับความดัน (11)

    แบบฝึกหัด \(\PageIndex{4}\)

    กระบอกทองแดงติดตั้งอย่างแน่นหนาภายในกระบอกเหล็กตามที่แสดง ความดันสัมผัสที่เกิดขึ้นระหว่างกระบอกสูบทั้งสองจะเป็นเท่าใดหากอุณหภูมิเพิ่มขึ้น 10\(^{\circ} C\) เกิดอะไรขึ้นถ้ากระบอกสูบทองแดงอยู่ด้านนอก?

    2.2: ภาชนะรับความดัน (12)

    แบบฝึกหัด \(\PageIndex{5}\)

    กระบอกสูบสามกระบอกประกอบเข้าด้วยกันเพื่อสร้างภาชนะรับความดันแบบผสม กระบอกสูบด้านในเป็นเหล็กกล้าคาร์บอนหนา 2 มม. กระบอกกลางเป็นโลหะผสมทองแดงหนา 4 มม. และกระบอกสูบด้านนอกเป็นอะลูมิเนียมหนา 2 มม. รัศมีภายในของกระบอกสูบด้านในคือ 300 มม. และความดันภายในคือ 1.4 MPa ตรวจสอบการกระจัดในแนวรัศมีและความเค้นรอบในกระบอกสูบด้านใน

    แบบฝึกหัด \(\PageIndex{6}\)

    ภาชนะรับความดันถูกสร้างขึ้นด้วยกระบอกเหล็กปลายเปิดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง \(6''\) ความยาว \(8''\) และความหนาของผนัง \(0.375''\) ปลายถูกปิดผนึกด้วยแผ่นปิดท้ายแบบแข็งซึ่งยึดด้วยสลักเกลียวขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง \(1/4''\) สี่ตัว โบลต์มีเกลียว 18 เส้นต่อนิ้ว และน็อตยึดถูกขันให้แน่น 1/4 รอบหลังจากจุดที่พอดีก่อนที่จะใช้แรงกด ค้นหาแรงดันภายในที่จะทำให้เกิดการรั่วไหลออกจากภาชนะ

    แบบฝึกหัด \(\PageIndex{7}\)

    กระบอกสูบอลูมิเนียมที่มีรัศมีภายใน \(1.5''\) และความหนา \(0.1''\) จะต้องติดตั้งภายในกระบอกสูบเหล็กที่มีความหนา \(0.25''\) รัศมีภายในของกระบอกสูบเหล็ก \(0.005''\) เล็กกว่ารัศมีภายนอกของกระบอกสูบอลูมิเนียม สิ่งนี้เรียกว่าการรบกวนพอดี เพื่อให้พอดีกับกระบอกสูบทั้งสองเข้าด้วยกัน ในขั้นต้น กระบอกสูบด้านในจะหดตัวโดยการระบายความร้อน อุณหภูมิของกระบอกสูบอลูมิเนียมควรลดลงเท่าใดเพื่อให้พอดีกับกระบอกสูบเหล็ก เมื่อกระบอกผสมที่ประกอบแล้วอุ่นขึ้นจนถึงอุณหภูมิห้อง ความดันสัมผัสระหว่างอะลูมิเนียมกับเหล็กจะพัฒนามากน้อยเพียงใด

    แบบฝึกหัด \(\PageIndex{8}\)

    สมมติว่าวัสดุในลูกโป่งยางทรงกลมสามารถจำลองแบบยืดหยุ่นเชิงเส้นด้วยโมดูลัส \(E\) และอัตราส่วนของปัวซอง \(\nu = 0.5\) แสดงว่าความดันภายใน \(p\) ที่จำเป็นต่อการขยายลูกโป่งจะแปรผันตาม อัตราส่วนการขยายตัวในแนวรัศมี \(\lambda_r = r/r_0\) เช่น

    \[\dfrac{pr_0}{4Eb_0} = \dfrac{1}{\lambda_r^2} - \dfrac{1}{\lambda_r^3}\nonumber\]

    โดยที่ \(b_0\) คือความหนาของผนังเริ่มต้น พล็อตฟังก์ชันนี้และกำหนดค่าวิกฤต

    แบบฝึกหัด \(\PageIndex{9}\)

    ทำซ้ำปัญหาก่อนหน้านี้ แต่ใช้ความสัมพันธ์ที่เป็นส่วนประกอบสำหรับยาง:

    \[t\sigma_x =\dfrac{E}{3}\left (\lambda_x^2 - \dfrac{1}{\lambda_x^2 \lambda_y^2} \right )\nonumber\]

    แบบฝึกหัด \(\PageIndex{10}\)

    ต้องใช้แรงดันเท่าใดในการขยายบอลลูน โดยเริ่มแรกมีเส้นผ่านศูนย์กลาง \(3''\) และมีความหนาของผนัง \(0.1''\) ให้มีเส้นผ่านศูนย์กลาง \(30''\) บอลลูนสร้างจากยางที่มีความถ่วงจำเพาะ 0.9 และน้ำหนักโมเลกุลระหว่างการเชื่อมโยงขวาง 3,000 กรัม/โมล อุณหภูมิ \(20^{\circ}\)

    แบบฝึกหัด \(\PageIndex{11}\)

    หลังจากที่บอลลูนของปัญหาก่อนหน้านี้พองตัว อุณหภูมิจะเพิ่มขึ้น 25C ความดันและรัศมีเปลี่ยนแปลงอย่างไร?

    References

    Top Articles
    Latest Posts
    Article information

    Author: Rob Wisoky

    Last Updated: 06/06/2023

    Views: 5241

    Rating: 4.8 / 5 (48 voted)

    Reviews: 87% of readers found this page helpful

    Author information

    Name: Rob Wisoky

    Birthday: 1994-09-30

    Address: 5789 Michel Vista, West Domenic, OR 80464-9452

    Phone: +97313824072371

    Job: Education Orchestrator

    Hobby: Lockpicking, Crocheting, Baton twirling, Video gaming, Jogging, Whittling, Model building

    Introduction: My name is Rob Wisoky, I am a smiling, helpful, encouraging, zealous, energetic, faithful, fantastic person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.